Aide à la décision

Pour ceux qui sont intéressés par quelques explications « théoriques » sur l’aide à la décision : c’est ici

Pourquoi « l’aide à la décision » ?

Dans les années 1994-96, je devais choisir de grosses machines industrielles, en fait je présentais pour chaque achat, trois machines (solutions) à une commission d’experts qui entérinaient un des choix présentés. Exactement je ne choisissais pas, je suggérais la meilleure machine, libre à la commission de suivre. Pour divers motifs, je souhaitais vraiment trouver le meilleur compromis dans chaque achat et j’ai découvert à cette occasion, l’analyse multicritères (« Multiple-criteria decision analysis », MCDM). Je me suis appuyé sur le livre d’Alain Schärlig :  » Décider sur plusieurs critères« . Ce fût mon livre de chevet ….. Voilà pour « mon pourquoi personnel » !
L’environnement de nos décisions est souvent incertain et pour nous aider à choisir, on trouve principalement les techniques  d’analyse multicritères. Ce type de méthodologies permet de naviguer en  « eau trouble » car il est difficile de cerner complètement certains problèmes, par exemple, comment faire pour dépolluer un site, effectuer ou non une chirurgie à risque, définir le meilleur ordonnancement de produits, trouver le lieu d’implantation d’un barrage, …. Dans tous ces cas, l’environnement n’est pas parfaitement connu, mais il faut prendre une décision, c’est là que l’analyse multicritères intervient comme aide à la décision. Ne demandez pas à ce type d’analyses un résultat clair et précis, si cela arrive, inquiétez-vous de votre analyse, mais attendez-vous plutôt à une orientation, à l’élimination de solutions.Je me suis très vite rendu compte que le problème numéro un dans les approche d’analyse multicritères était le choix de la méthode, chacune a au moins un gros défaut ! Donc en plus de choisir le bon matériel je devais choisir la bonne méthode !

L’idée de tester les méthodes en les comparant est assez naturel. Mais alors, quel travail ! Car il y a plusieurs centaines de méthodes possibles ! Donc j’ai défini complètement arbitrairement quelques méthodes pour les implanter dans un « logiciel d’aide à la décision de méthodes d’aide à la décision » 😆

Vidéo (8’54) pour rappel de ce que sont les méthodes d’aide à la décision

Exemple pour les explications des calculs

Pour l’élaboration de cet atelier pilote (flexible, automatique, didactique) afin de promouvoir les techniques du CIM (Computer Intragted Manufacturing), je devais le « remplir » de machines industrielles du marché (machine-outil, CNC). On devait pouvoir fabriquer des pièces diverses, simplement, « presque en automatique ».  L’ensemble ayant vocation de transfert technologique.

Quelques actions (solutions, objectifs) sélectionnées :

  • machines simples et manuelles.
  • machines automatiques simples, approvisionnement par robot « bras ».
  • machines automatiques complexes, approvisionnement par chargeur.
  • une cellule multiposte.
  • une machine multi-usinages.

Et quelques exemples de critères :

  • facilité d’intégration informatique.
  • accessibilité à des groupes (étudiants) autour de la machine.
  • représentation des types de machine du marché.
  • la provenance du matériel (cet atelier était financé par l’état).
  • capacité de travail compatible avec les autres machines.
  • précision et matière industrielle.
  • représentation du milieu macro-économique régional visé.
  • le prix (coût achat, maintenance, installation).

Cas pris en considération

Pour simplifier la démonstration, je prendrais arbitrairement que les 3 premiers objectifs (solutions, actions) et également les trois premiers critères.

Aide à la décision, listes des solutions et critères

Et voici la matrice des jugements qui servira de base aux explications :

Aide à la décision, table des jugements pour atelier

Les logiciels

Premièrement et surtout je décline toutes responsabilités concernant vos futures décisions ! 🙄

AideChoix -> anciens systèmes comme Windows 95 ….. XP
HelpSelect -> nouveaux systèmes comme Windows 7 … 10

« Aidechoix »

Aide à la décision, "AideChoix"

Pour mener mes analyses, j’avais écrit un programme informatique, qui permettait surtout de « triturer » la problématique au regard de diverses méthodes d’aide à la décision.

Je vous laisse le lien de téléchargement pour ceux qui seraient intéressés. Il y a avec, un mode d’emploi, qui n’est qu’un piètre résumé du livre de Monsieur Schärlig.

Cinq méthodes d’agrégation complète et deux d’agrégation partielle.  Un mot de ce choix : pour le cas que j’avais à traiter (achat de matériel pour un atelier), avec « un seul décideur » (une commission d’experts en réalité qui choisissait parmi trois solutions que je proposais), je n’ai pas vu l’utilité de méthodes locales pour ce type de travail. D’autant qu’une approche « autour d’une solution machine », c’est pas très clair.

Le logiciel « HelpSelect », voir ci-après, est plus adapté aux OS modernes, au-delà de Windows XP, et est, en fait, une « mise à jour » d’AideChoix ».

Téléchargement du logiciel : avec bien sûr toutes les règles de prudence avec ce genre de logiciel. AideChoix

Je l’ai testé en écrivant cet article sous Linux avec Wine cela ne fonctionne pas, pour  XP c’est normalement ok 😯 , pour Windows 7, 8 et 10 : je ne sais pas (pour certain oui pour d’autre non) ! Eh oui, cela date (1994) 😀 !!

« HelpSelect »

Afin de mettre au goût du jour le programme « AideChoix », je me suis lancé dans le langage « python » et la librairie « Kivy ». Voici les différentes versions disponibles, mais attention c’est pour l’instant du « bêta », donc à utiliser avec toutes les recommandations d’usage d’une application non finalisée. Voici une petite vidéo (6’53) de présentation.

  • Exécutable Windows (version 0.3), testé sur Windows 10 uniquement, mais doit fonctionner sur les autres plateformes. HelpSelect
    • Décompresser à l’endroit de votre choix.
    • Ouvrez le répertoire HelpSelect et double-clics sur le fichier HelpSelect avec l’icone « ? » ou le fichier HelpSelect.exe.
    • Pour de l’aide, ‘settings ou préférence’→’help ou aide’→’Help in English ou aide en français’. Attendre l’ouverture de votre navigateur avec l’affichage de l’aide.
  • Logiciel pour Mac, si j’arrive à trouver un testeur (matériel et personne).
  • App pour Android. Si j’y arrive, pour l’instant 🙁
  • App pour Apple en travaux, si j’arrive à trouver un testeur (matériel et personne).

Les sources complètes du logiciel (version 0.3) en python 3, en domaine public. HelpSelect source

Aide et descriptif du logiciel au format « web ». Pour démarrer : ouvrir le dossier correspondant au langage souhaité et clic sur le fichier « index.html ».  Cette aide est intégrée dans les autres fichiers compressés. HelpSelect aide

Voici quelques vues du nouveau logiciel HelpSelect (multi-langues) :

Historique

Cette partie est plus pour moi, comme souvenir 😉

  • alpha : savoir si je peux faire quelque chose en python, c’était pas gagné.
  • béta 0.1 : c’est les quelques  images ci-dessus. Je découvre que la méthode des ratios à deux types de calcul possible, curieux !
  • béta 0.2 : la méthode de la hiérarchie m’a donné beaucoup de mal, traduire les idées en code ne fut pas simple ! J’ai adapté les idées au code en désespoir 🙄 Il reste les deux méthodes d’agrégation partielle à implémenter.
  • béta 0.3 : L’ensemble des méthodes prévues sont implantées. Encore quelques tests avant de promouvoir la version 1.

Futur

Quelques idées pour l’après version 1.0, peut-être pour une meilleure compréhension de l’aide à la décision.

  • Tableau de comparaison entre les diverses méthodes
  • Sortie des projets (solution-critères et/ou table des jugements et/ou agrégation) au format pdf.
  • Incorporer la méthode AHP de Thomas Saaty.
  • Implémenter une méthode d’agrégation locale.
  • Guide pour le choix du type de méthode d’agrégation : locale, complète ou partielle.

Les méthodes  choisies

La première version (bêta) distribuée, comportera les trois premières méthodes d’agrégation. Les autres méthodes suivront, la version 1 du logiciel comportera l’ensemble des méthodes ci-dessous. Ce sont des méthodes d’aide à la décision que je pense les plus répandues et relativement simples d’accès.

Méthodes d’agrégation complète

  • La somme simple des notes
  • La somme des notes
  • La multiplication des ratios (deux types de calcul)
  • Le goal-programming (standard et pondéré)
  • La hiérarchie (la dictature)

Méthodes d’agrégation partielle

  • Electre I
  • Oreste

Choix pour les échelles

Suivant la méthode choisie, il est nécessaire de spécifier une échelle fixant la valeur des notes pour l’ensemble ou par critères. Dans le logiciel « HelpSelect », vous avez 3 types d’échelles possibles :

  • Échelle type A, minimisation, maximisation : la valeur de la note n’est pas bornée on doit soit la rendre très petite soit très grande pour avoir une solution intéressante.
  • Échelle type B, comparaison : la note correspond au classement des solutions entre-elles au regard du critère. Donc les valeurs seront comprise entre 1 et  nombres de solutions étudiées.
  • Échelle type C : La note de la solution au regard du critère doit être comprise entre deux bornes fixes, par exemple entre 1 et 10 . 10 étant le meilleur score possible

Projets fournis avec le logiciel

Avec le logiciel, quelques projets types sont fournis, ce sont les fichiers texte avec l’extension ach :

  • Template.ach
    • A ne pas effacer, permet la création de nouveau projet
  • Atelier.ach
    • C’est le fichier « fil conducteur » pour les explications des méthodes d’agrégation.
  • RatioWikipedia.ach
    • C’est la transcription en projet HelpSelect du cas étudier sur Wikipedia.
  • Bizarre.ach
    • Exemple de projet donnant presque autant de classements différents que de méthodes d’agrégation. Pas de liaison avec le réel, c’est simplement pour démontrer qu’il faut une certaine finesse d’analyse des résultats pour trouver la moins mauvaise solution. 🙂

La somme simple des notes

Pour suivre les calculs , on part de la matrice des jugements ci-dessus, voir le projet  « Atelier » dans le logiciel « HelpSelect »

C’est la plus simple et la plus abrupte des méthodes d’aide à la décision, ce qui ne veut pas dire que c’est une mauvaise méthode (« y en a-t-il une de mauvaise ? »). Comme pour la grande majorité des méthodes multicritères, on définit les actions (objectifs, solutions) et bien sûr, les critères souhaitables. Après on juge (attribution d’une note) chaque solution vis-à-vis de chaque critère.

Pour cette agrégation, on additionne, pour chaque action, tous les scores que cette solution a obtenu, puis (partie non obligatoire) on moyenne le résultat par le nombre de critère. Un exemple sera plus clair que de longs discours, on prend le cas de l’atelier, dont voici la table simplifiée des jugements :

Aide à la décision, matrice simplifiée

Dans cette méthode, il n’y a qu’une échelle valable pour tous les critères et pas les critères sont considérés comme « égaux ». Il est recommandé de choisir une échelle positive, croissante, soit par exemple comme dans notre cas de 1 à 10 (1 = mauvais, 10=excellent).

Remarque:  pour pouvoir comparer directement les méthodes d’aide à la décision, on conserve les notes telles que définies dans la table des jugements avec des échelles pré-définies. Particulièrement pour le critère C3, cela fausse  un peu le résultat de comparaison entre méthodes, en effet le critère est minimisé ou maximisé selon son échelle primaire, mais cela permet de ne pas modifier les notes et donc c’est plus clair pour les explications des calculs de la méthode. Si on  voulait effectuer une comparaison de méthode plus juste, il serait nécessaire de réajuster les notes dans chaque cas afin de rétablir l’équilibre des critères.

Pour la solution A1
Suivre le rang  : 2 + 4 + 1 = 7
Le nombre de critères : 3
Donc la note « moyenne » pour la solution A1 sera  7 ÷ 3 = 2.3

Dans notre cas la meilleure solution serait les solutions A2 et A3, car elles ont obtenu la moyenne la plus élevée.

La somme des notes

C’est certainement la méthode que presque tout le monde a subit. Les professeurs utilisent cette méthode pour suivre la réussite, l’échec, des élèves.

C’est une méthode d’agrégation complète qui utilise une seule et même échelle pour tous les critères. Les évaluations représentent la matrice de jugement. Généralement on effectue une moyenne sur l’ensemble des évaluations en pondérant les notes (critères). Ce genre de méthode à deux gros inconvénients.

  • Une moyenne peut-être bonne avec un jugement (note) nul sur un critère (branche), ce qui oblige souvent les écoles à éditer plein de règles plus ou moins simples pour limiter ce genre de problème.
  • L’autre est plus ennuyeux et bien connu du corps enseignant. Comme chaque juge (professeur)  évalue de manière différente, utilise une progression différente dans l’échelle commune, il est  facile de juger une action franchement bonne ou franchement mauvaise. Par contre dans le cas d’incertitude entre bon ou mauvais (le minima demandé dans chaque branche par exemple), c’est beaucoup difficile. Dans la réalité chaque critère a bien le minimum et maximum de l’échelle identique, mais les évaluations entre ces minimas et maximas varient en fonction du juge (professeur).

En reprenant le cas des machines pour l’atelier nous avons comme solutions et critères, les évaluations seront faites sur une échelle de 1 à 10 (1 = mauvais, 10=excellent).

Aide à la décision, atrice simplifiées

Pour la solution A1
Suivre le rang  : 2•5 + 4•3 + 1•2 = 24
La somme des poids des critères : 5 + 3 + 2 = 10
Donc la note « moyenne » sera 24 ÷ 10 = 2.4

Dans notre cas la meilleure moyenne est obtenue par la solution A3.

La multiplication des ratios

Cette méthode d’aide à la décision permet d’éliminer les deux gros défauts de la méthode de la somme des notes. Malheureusement j’ai trouvé deux modes de calcul pour une même méthode, pas très clair ! Le premier calcul (calcul 1), on procède par fixer une échelle par critère, (elles sont toutes dans le même sens). Puis on norme les valeurs de chaque critère par rapport à une des solutions (au hasard sans importance), pour finir on effectue un produit par ligne. Dans le deuxième cas (calcul 2), on norme les notes de la solution par l’ensemble des notes de cette solution, puis on effectue un produit par ligne.

  • C1 = facilité d’intégration informatique, poids : 5, échelle : 1-10 (10 → le plus facile)
  • C2 = accessibilité à des groupes, poids : 3, échelle : 0-9 (9 → le plus accessible)
  • C3 =représentativité du marché, poids : 2, comparative positive (n°3 → meilleure représentativité)
Aide à la décision, matrice et résultats

Calcul 1

La solution A3 est prise comme référence. Pour expliquer le calcul suivons la solution A2.

  • Critère 1 : Solution A3 score C1 = 1 → A2C1 =  8 ÷ 8 = 1
  • Critère 2 : Solution A3 score C2 = 1 → A2C1 =  7 ÷ 8 = 0.88
  • Critère 3 : Solution A3 score C3 = 1 → A2C1 =  3 ÷ 2 = 1,5
  • Calcul du ratio, l’addition des scores en tenant des poids : 1 • 5 + 0.88 • 3 + 1.5 • 2 = 10.64
  • On simule une « moyenne » par critère par la division de la somme des poids :  10.64 ÷ (5+3+2) =1.06

La méthode des ratios dans ce cas désigne l’action (solution) A2 comme « vainqueur ».

Calcul 2

Nous utiliserons également la solution A2 comme exemple.

  • Total des notes = 18
  • Critère 1 :  poids • note ÷ somme des notes = 5 • 8 ÷ 18 = 2.22
  • Critère 2 :   3 • 7 ÷ 18 = 1.17
  • Critère 3 :  2 • 3 ÷ 18 = 0.33
  • Calcul du ratio  : 2.22 + 1.17 + 0.33 = 3.72

La méthode des ratios dans ce cas, désigne l’action (solution) A3 comme « vainqueur ».

Cette différence est un peu ennuyeuse, mais cela rappelle qu’une belle méthode mathématique, n’est qu’une méthode. Il faut être prudent lorsque les différences des résultats entre deux solutions est faible, moins de 15%, ce qui est le cas entre les actions A2 et A3. N’oubliez pas qu’un jugement légèrement variable, un critère définit un peu différemment, un poids plus ou moins fort ou une échelle modifiée peut changer la donne ! Comme pour l’instant je n’ai pas trouvé plus d’arguments pour une méthode que l’autre, vous aurez les deux types de calcul à disposition dans le nouveau programme !

Exemple Wikipédia 

Vous trouverez sur l’encyclopédie Wikipédia ( recherchez: « Méthode mathématique d’analyse multicritère »), une présentation d’un cas d’analyse avec une table de jugements à l’allure suivante :

Aide à la décision, Wikipédia

Ce qui est intéressant dans cet exemple d’application de la méthode « la multiplication des ratios », c’est la diversité des échelles. En effet au quotidien, les critères et leur évaluation peuvent prendre beaucoup de forme, comme une comparaison directe des solutions, la maximisation de valeur, etc.

Transformation des échelles

Pour pouvoir appliquer la multiplication des ratios, il est nécessaire que toutes les échelles évoluent dans le même sens (généralement positif). cela est nécessaire pour les deux critères « Automobile » et « Mobilité » car ces critères qui demande une minimisation des valeurs, plus la valeur est faible meilleure est la solution.

C’est relativement simple on prend  la valeur maxi et on calcule la « distance à cette valeur », comme cela plus la nouvelle valeur est grande meilleure est la solution.

En suivant la ville n°3, cela donne :

  • critère « automobile » : valeur maxi = 49  donc jugement ville n°3 = 49-45 = 4
  • critère « mobilité » : valeur maxi = 3,99  donc jugement ville n°3 = 3.99 – 3.99 = 0

Voici la nouvelle table de jugement  :

Aide à la décision, Wikipédia

Pour la suite c’est le même procédé que celui présenté dans l’exemple de l’atelier. Wikipédia dans son modèle applique le type 2 du calcul, vous pouvez tester ce cas avec le projet RatioWikipedia » dans HelpSelect.

Le goal-programming

Dans ce cas on compare chaque solution à une solution (action) de référence parfaite en soi. Cette hypothétique (sinon on n’aurait pas besoin de chercher) solution serait celle qui répond au maximum dans tous les critères.

On peut dire que cette méthode regarde ce qui manque à chaque solution pour être la solution souhaitable. On pratique cela en partant de critères tous  jugés sur la même échelle. Ces jugements se faisant en se posant la question : « De combien suis je éloigné de la solution idéale ? ». Nous mesurons les écarts avec la solution souhaitable, ces écarts peuvent être positif (en deçà de ce qui est souhaité) ou négatif (en dessous de ce qui est souhaité). L’aide à la décision par la méthode multicritères du goal-programming , c’est trouver la solution permettant de minimiser les écarts avec la solution idéale. Nous avons utilisé la formulation standard du goal-programming, ainsi que la celle du goal-programming pondéré. On voit ici un peu les limites du logiciel, car on traite une matrice de jugement standard que l’on transforme mathématiquement en matrice des écarts. Les jugements, les appréciations, les notes ne sont pas forcément identiques et il y a même certainement une distorsion au départ, mais le but du logiciel est une comparaison de méthodes d’aide à la décision, donc il faut peut-être accepter ce défaut.

Pour définir la solution optimale, seules échelles de type A posent un problèmes car leur minimum ou maximum n’est pas définit. Ce sera donc la note de la solution optimum qui servira de maximum ou de minimum. Si l’on repart du cas de l’atelier, nous devons passer de la matrice de jugements à une matrice des écarts. Il seront exprimé en pourcent afin de comparer les critères, on ramène à une échelle de 0-100.

Pour rappel la matrice des jugements de départ, (cas de l’atelier) :

Aide à la décision, matrice fil rouge

Pour expliquer le calcul de la matrice des écarts, suivant les notes des solutions selon le critère C2

  • Pour la solution optimale la note maximum = 9
  • Écart (distance) de chaque solution à la solution optimale : A1 = 9-4 = 5,  A2 = 9- 7= 2,  A3 = 9-8 = 1
  • Valeur de cette distance (écart) en pourcent : A1 = (100 • 5) / (9-0) = 55.6,  A2 = 22.2  A3 = 11.1
  • La valeur de l’écart de la solution à la solution optimale étant l’addition des écarts

La méthode du goal-programming standard dans ce cas, désigne l’action (solution) A2 comme « vainqueur », car son écart total est le plus petit.

Dans le cas du goal-programming pondéré on prendra le poids des critère comme élément de pondération des écarts ce qui donne le résultat suivant, en suivant le calcul de la solution A3 avec les poids des critères.

  • Somme des écarts multiplié par les poids pour le solution A3 : 22.2 •5 + 11.1 • 3 + 50.0 • 2 = 244.3
  • En rapportant à la somme des poids (10) : 24.4

Cette méthode désigne la solution A2 comme la moins mauvaise car son écart total pondéré est le plus faible.

La hiérarchie (la dictature)

La méthode de la dictature

Je vous parle de la méthode de la dictature que pour introduire la méthode de la hiérarchie. Dans cette méthode dite de la dictature (méthode lexicographique), on part d’un tableau d’évaluation de critères (à chacun son échelle) et l’on désigne un critère principal (un critère dictateur) et la solution (l’action) ayant obtenu le meilleur résultat sur ce critère est déclarée « vainqueur ». Cette méthode est très proche de l’optimisation qui pourrait être considérée comme une « aide à la décision ». Vous avez bien travaillé en définissant les poids, échelles des autres critères ainsi que les notes obtenues les solutions au yeux de ces autres critères, désolé, mais pour la méthode de la dictature c’était inutile un seul critère est retenu !! 😆

Exemple avec l’atelier précédemment présenté, en définissant le critère C1 comme le plus important (le poids le plus grand), le résultat sera :

Les solutions A2 et A3 sont retenues comme les meilleures solutions possibles, meilleures notes sur C1

La méthode de la hiérarchie

Ce n’est pas la méthode du mathématicien Thomas Saaty dénommée « analyse hiérarchique multicritères » AHP que nous allons examiner. Peut-être dans la version suivante du logiciel cette méthode AHP sera introduite.

La méthode de la hiérarchie est semblable à la méthode de la dictature, mais dans ce cas on va chercher l’influence de chaque critère pour la définition de la bonne solution, ce qui en fait une vraie méthode d’aide à la décision. Pour chaque critère, on définit une note minimum (minima) que les solutions doivent atteindre faute de quoi la solution est abandonnée. Cet abandon sera effectif au fur et à mesure des analyses des critères (du plus important au moins important). En l’occurence pour le logiciel, et pour comparer les méthodes, nous utiliserons le poids du critère comme moyen de quantifier cette importance.

Exemple dans notre analyse :

Aide à la décision, Hiérarchie

On voit que la solution A1 est éliminée sur le fait que le critère C3 est en dessous du minima et que la solution A3 déclarée « vainqueur » par le critère C2 mieux évalué tandis que l’évaluation de C1 est équivalente.

Vision personnelle de la méthode

En cas d’égalité des notes, c’est le critère suivant qui définira le choix de la solution à « éliminer », pour l’établissement d’un classement. Autre configuration, plusieurs critères ont le même poids, pour ne pas surcharger les extrapolations, déjà un peu approximative du logiciel. Dans un cas similaire les critères seront pris par ordre de création.

Il est évident qu’au cas où vous avez beaucoup de critères et peu de solutions ou l’inverse, il va falloir compléter cette méthode par un « calcul » supplémentaire. Essayons d’analyser deux cas, pas forcement réalistes mais explicites concernant la méthode de calcul.

Cas d’un projet avec 2 solutions et 4 critères

Votre table des jugements pourrait avoir cette allure :

On suppose que les deux solutions ont obtenus des notes supérieures aux minimas. Ce que je souhaite montrer avec ce cas, c’est que la méthode de la hiérarchie n’est pas franchement adéquate pour ce type de configuration. Dès le premier critère C1 (poids le plus élevé), une des deux solutions est éliminée, A1 selon la table, quelque soit les résultats sur les trois autres critères. Ceci ressemble furieusement à la méthode de la dictature. Si on veux tenir compte des autres critères, il y a plusieurs possibilités, j’en prends une qui me semble « correcte ».

  • calcul d’une note moyenne selon un critère moyen provenant d’un mixte des critères laissés pour compte. C2, C3 et C4 dans notre exemple.
  • ajout de cette note moyenne au dernier critère (C1 dans la matrice ci-dessus) de choix définissant une nouvelle note pour les solutions.

Pour l’instant cette façon de calculer  n’est pas appliquée dans le logiciel, on ne tient compte que des poids et de notes, pour les critères restant et bien on n’en tient pas compte, comme cela c’est radical. 😮

Encore une fois, c’est un exemple purement hypothétique. Pour le logiciel la méthode de la hiérarchie n’est pas applicable si on a seulement deux solutions valables dès l’analyse du premier critère. Ce principe de calcul (mixte de notes et critère moyen) ne sera donc appliqué que si, au moins, le critère le plus important est traité et qu’il ne reste que deux solutions avec plusieurs critères (plus qu’un). Autant dire que cette façon de faire, pour ce type de cas, est personnelle et ne correspond certainement pas à l’orthodoxie de la méthode. D’autant, que je transforme toutes les échelles en une échelle positive de 0-100. Cette façon de faire pose problème particulièrement pour les critère qu’il faut maximiser (ou minimiser), en effet comment connaître les bornes ?

Cas d’un projet avec 4 solutions et 2 critères

Dans ce cas, après le premier « tour de calcul », il nous reste 3 solutions à comparer pour le critère à plus faible poids. Le classement des solutions restante se fera sur leur note obtenue sur ce critère. Dans cette configuration il y a une logique raisonnable pour extraire un classement des solutions. On peut appliquer la méthode sans « calculs supplémentaires ».

Electre I

Dans l’aide à la décision on trouve des méthodes moins « mathématiques », qui sont souvent moins « définitives » quand au classement des solutions. Ces méthodes comparant deux à deux les solutions, on parle agrégation partielle, datent des années 1968-80. En voici  une : Electre I , dont le nom signifie :

Electre =  Élimination Et Choix Traduisant la REalité  (ROY, 1985)

Remarque : actuellement l’utilisation des méthodes Electre III et IV est certainement plus répandue, je vous laisse chercher sur internet des explications et exemples sur ces méthodes, deux propositions cependant :  Cours MCA Electre III et un article sur Electre III

La méthode d’aide à la décision Electre est fondée sur deux principes :

  1. la concordance : Soit deux solutions A et B. On dit que A « surclasse » B, s’il existe des arguments suffisamment probants pour accepter, en accord avec les préférences du décideur, l’assertion « A est au moins aussi bon que B » (principe majoritaire). Comme le note Alain Schärlig, ce surclassement est une idée de la méthode Condorcet qui propose le principe pour la comparaison de candidats deux à deux.
  2. la discordance : Parmi les critères qui ne correspondent pas à la concordance aucun ne doit exprimer un désaccord trop fort. (principe des minorités). Ceci veut dire que la solution ne doit pas trop s’éloigner sur un critère minoritaire.

Voilà pour les principes, maintenant comment procède-t-on ? La première chose à bien comprendre c’est que la question : « A est-elle au moins aussi bonne que B  ?» n’est pas pareille à « B est-elle au moins aussi bonne que A ?». En effet on juge d’abord la concordance et après la discordance.

On commence avec la matrice des jugements faites de manière habituelle. Chaque critère est jugé sur sa propre échelle. On définit un indice de concordance, selon la méthode suivante, on additionne le poids de chaque critère, chaque fois que la solution (action) est mieux ou aussi bonne que la solution de référence.

Nota : pour la concordance des appréciations (mots) sont suffisants, mais pour la discordance un chiffre est nécessaire. De plus le calcul de la concordance s’appuie sur les poids tandis que la discordance utilise les échelles.

Exemple dans notre cas de machines industrielles, on repart de la matrice des jugements que vous connaissez bien :

Donc on se réfère aux notes pour répondre « oui » ou « non » à la concordance et l’indice de concordance est définit par le poids des critères.

Exemple à la question : « A1 est-elle au moins aussi bonne que A2  ? »

  pour C1→ »non »,  C2→ »non » et C3→ »non »

Indice de concordance

Calcul pour le cas entre A3 et A2 :

Première question : « A3 est-elle au moins aussi bonne que A2  ?».

On additionne le total de poids des critères,
PoidsC1=5 + PoidsC2=3 + PoidsC3=2  soit total = 10
Ensuite, cherche les critères ou l’évaluation A3 surclasse ou égale celle de A2, soit sur le critère C1, nous avons égalité des évaluations, et C2. On calcule alors
(PoidsC1+PoidsC2)/totalPoids = 5+3 /10 = 0.8

Première question : « A2 est-elle au moins aussi bonne que A3  ?».

Le poids des critères ne change pas
Les critères ou l’évaluation A2 surclasse ou égale celle de A3, soit sur le critère C1, nous avons égalité des évaluations, et C3. On calcule alors
(PoidsC1+PoidsC3)/totalPoids = 5+2 /10 = 0.7

Aide à la décision, Electre indice de concordance

Nota : Dans le logiciel HelpSelect, le calcul est légèrement différent car avant de déterminer les indices, il est procédé aux changements des échelles. En effet, on ne travaile qu’avec des échelles positives progressives et en pourcent.

Indice de discordance

Le calcul de la discordance se fait sur les critères  qui ont une évaluation inférieure et en fait on prend celui qui présente la plus grande différence (cas de sévérité=1).

Par exemple dans notre cas, en comparant A2 à A3, on trouvera une discordance pour le critère C3, l’échelle est comparative donc elle va de 1 à 3. ceci signifie que la plage couverte de l’échelle vaut 2 (=3-1). Maintenant la différence des jugements est 1. La valeur de l’indice de discordance =1/2=0.5.

En comparant A3 à A2, on trouvera la discordance au critère C2, par contre la couverture de l’échelle vaut 9 (=9-0). Maintenant la différence des jugements est 1. La valeur de l’indice de discordance =1/9=0.11.

Autre cas A1 à A3, on trouvera pour les critères C1, C2 et C3, le critère qui à la plus grande différence (sévérité=1) sera le critère C1 (-6=2-8). La valeur de l’indice de discordance sera dans ce cas 6/9=0.67 car la plage de l’échelle correspond à 10-1=9

Aide à la décision, Electre indice de discordance

Table de vérité des indices

À partir de ces indices, on cherche la solution qui a une bonne concordance (≥0.7) et une discordance pas trop criarde (≤0.3), ce qui nous donne « une table de vérité « 

Aide à la décision, electre table vérité des indices

De cette table on cherche à extraire la solution la moins mauvaise. Pour le cas A2 et A1 nous avons un premier « oui » pour la une concordance maximum (1) et un « non » pour une discordance trop grande (0) Donc dans notre cas, on voit que A2 et A3 surclasse A1 et que A2 surclasse A3. Par cette méthode, on déclare A2 la moins mauvaise des solutions.

Bien que les résultats d’agrégations partielles sont souvent présentés sous forme de graphes, HelpSelect vous propose, comme pour les méthodes précédentes, une liste de la moins mauvaise solution à la moins recommandée. Les solutions avec un score nul sont à éviter.

Attention tout de même, les méthodes d’agrégations partielles (Electre, Oreste, etc), permettent de classer les solutions, mais, en fait et surtout, d’éliminer les mauvaises solutions, quant à différencier les meilleures, alors là c’est beaucoup moins évident.

Oreste

Cette méthode est peut-être la plus « humaine », dans l’aide à la décision. On demande en fait uniquement des classements, pas de notes, pas de poids que des appréciations entre les critères et les évaluations. Comme le but du logiciel est de comparer les méthodes entrent-elles, j’ai utilisé une méthode Oreste un peu « bidouillée ».

Oreste : Organisation, Rangement Et Synthèse de données relationnelles

On explicite la chose directement au moyen du cas qui nous sert de fil conducteur. Nous nous servons de la table des jugements comme oint de départ et nous la modifions. Donc voici la matrice de départ, toujours la même 😉 

Comment est modifiée cette matrice des jugements ? En fait on supprime les poids des critères, mais on les classe du plus important au moins important. Puis on classe les solutions au regard de chaque critère, le chiffre le plus élevé étant le meilleur score.

Matrice des jugements « transformée » :

Aide à la décision, Oreste matrice transformée

Comparaison par les distances

On essaye de trouver la somme des rangs obtenus pour chaque solution. A partir cette matrice, on place dans un espace à deux dimensions les critères et les évaluations, l’idée étant de les ramener sur un axe par projection.

Si vous voulez une visualisation du principe :

Aide à la décision, Oreste axe projection

L’inclinaison de l’axe de projection ainsi que son origine sont arbitraires, cela n’a pas d’importance, car ce qui nous intéresse, c’est uniquement la distance des projections à l’origine et la comparaison entrent-elles. Pour la démonstration, je prends un axe de projection passant par l’origine (coordonnées, abscisse) et donc l’expression mathématique de cette projection (voir en fin d’article la justification de cette assertion) est :

Aide à la décision, Oreste calcul distance

Je résume pour le cas de l’atelier, avec un axe de projection de pente 0.4 (arbitraire) passant par l’origine et le point de référence pour les distances sera l’origine des abscisses, coordonnées qui fera l’affaire. C’est uniquement la comparaison entre les distances qui nous intéresse, donc la somme de ces distances pour chaque solution sera :

La première partie est la « valeur de la note » du point projeté, la deuxième partie est « l’importance » du point projeté et la dernière partie étant la distance à l’origine. Notez bien que ces valeurs n’ont aucune signification quelconque, c’est de la touillerie mathématique.

Sur la droite vous avez les sommes de ces distances et l’on voit nettement que la solution A1 n’est pas très bien placée.

Comparaison par rang sur les critères

C’est un pareil à la première comparaison (somme des rangs), ici on va comparer les critères. C’est la somme des différences de rang dans les critères pour autant que la première solution soit mieux classée que la deuxième. Normalement on doit pas tenir compte, dans ce que j’ai compris de la méthode, du poids du critère ce qui est normal puisqu’il n’existe pas de poids de critère dans la méthode Oreste. En fait, il y a bien un poids, car les critères sont classés du plus important au moins important, pour moi cela correspond à un poids. 🙂 C’est pour cela que j’ai introduit dans cette valeur le rang du critère alors que normalement on n’en tient pas compte.

Aide à la décision, Oreste table des écarts

On repart de la matrice transformée, et l’on calcule pour le critère C1 l’écart entre la solution A2 et la solution A1. Ecart = 2 = 3-1, moi je tiens compte du rang et donc j’ai multiplié par le rang ce qui donne : Ecart pondéré = 6 = (3-1)*2

Pour créer un classement des solutions dans le logiciel, j’ai mixé les deux calculs, « la somme des distances » et « la somme des écarts ». Cette méthodologie n’est pas conforme à la méthode Oreste, mais pour présenter les résultats afin de comparer les méthodes, je n’ai pas trouvé mieux que cette entorse.

Ce que l’on constate avec ces chiffres, c’est la tendance à montrer que la solution A3 est peut-être la moins mauvaise. Normalement avec la méthode Oreste, il y a deux facteurs (autre que celui de l’inclinaison) qui sont introduit pour permettre en manipulant de faire ressortir une solution. Pour ma part j’ai court-circuité cette partie en passant par le rang des critères. Cette façon de faire, toute arbitraire, n’engage que moi !

Conclusion

L’aide à la décision à l’heure de l’intelligence artificielle, peut présenter des chemins intéressants pour effectuer le « bon choix », mais l’analyse multicritères montrent que les relations entre les actions (déjà elles-même difficile à définir) et les critères sont souvent troublent. Le choix de la méthode d’agrégation (d’aide à la décision 😕 ) est aussi plein d’embûches, car on travaille souvent dans des domaines ou les données sont peu fiables, en petit nombre et difficiles de discernement.

Le cerveau humain, nous amène souvent à des choix pas « très raisonnés », j’espère que pour les choix d’une intelligence artificielle, nous aurons la même mansuétude que pour un humain.


Calcul droite projection (Oreste)

Voici la légitimation de la formule utilisée pour les calculs des solutions sur l’axe de projection. Pour des éléments mathématiques supplémentaires vous pouvez regarder Wikipédia. Présentation schématique du problème :

  • Point origine O (pour rappel totalement arbitraire)
    • Io valeur en importance de l’origine.
    • No valeur note de l’origine
  • Point d’une solution S
    • Is importance du critère pour cette solution
    • Ns note de cette solution
  • Point P de projection de S sur l’axe
    • Ip valeur en importance de cette projection
    • Np note de cette projection

Pour le calcul de la distance O-P nous utiliserons Pythagore :

Comme on peut le voir dans cette formule (la première) nous devons définir les trois éléments inconnus, c’est à dire : Io, Np et Ip car No a été définit arbitrairement comme confondu avec l’origine des coordonnées , soit dans notre cas (atelier de machine) No=0.

L’axe de projection est connu car défini arbitrairement et donc nous considérons a et b comme connu. Calcul de Io : c’est très simple car nous avons la deuxième relation qui définit « l’importance de l’origine » Io = a * No + b

Les coordonnées du point P définit par le point S et l’axe seront en n’oubliant pas qu’une droite est perpendiculaire à une autre si sa pente est l’inverse de sa valeur mais de signe opposé. Ce qui veut dire :

  1. P sur axe projection : Ip = a * Np + b
  2. P sur la perpendiculaire à l’axe de projection Ip = (-1/a) * Np + bp
  3. S sur la perpendiculaire à l’axe de projection Is = (-1/a) * Ns +bp

Si vous souvenez de vos années d’étude, 3 inconnues (Ip, Np, bp) et 3 équations, cela ne pose plus de problème de résolution. Vous pouvez vous faciliter la vie en prenant b=0 et la pente a=1 (45°) mais une pente trop prononcée n’aide pas forcément au triage des solutions, mais c’est à tester pour chaque cas. Encore une fois (c’est la dernière, promis 🙂 ), l’axe de projection et l’origine des distances sont définis arbitrairement, seulement un « bon choix » permet de maximer les différences entre solutions.

Si on revient à notre problématique en fait le terme bp ne nous interresse pas trop. En tirant sa valeur de l’equation (3) bp = Is + a * Ns et en remplaçant cela dans les deux premières équations, nous trouverons :