Calcul du moment quadratique

Le calcul du moment quadratique est souvent fastidieux. Notez que le moment quadratique est aussi souvent appelé moment d’inertie quadratique ou bien simplement moment d’inertie, attention dans ce cas à ne pas confondre avec d’autres entités dénommées « moment« .

Le moment quadratique représente la raideur de forme à la flexion ou la torsion d’une poutre.

exemple de profilé

Le but de cet article n’est pas de vous présenter le moment quadratique ou même de le définir, d’autres l’ont très bien fait (site 1, site 2, site 3), mais plutôt une méthode (via un logiciel) pour déterminer :

 par calcul, le moment quadratique d'une forme à partir d'une simple photo.

Ceux qui souhaitent directement télécharger le logiciel, sautez au chapitre : « Le programme »

Le concept

D’une photo d’un profilé, on effectue le calcul du moment quadratique, à partir des pixels de la photo. Voici un comparatif des résultats obtenus sur une forme simple, un rectangle.

JxxJyyJo
Par calcul416.61104.16520.83
Image 100×50416.75104’25521.00
Image 1000×500416.68104.16520.83
calcul moment quadratique, forme rectangulaire

Avec les dimensions b=5 et h=10

Avec une image de basse qualité (50×100), le résultat est déjà pas mal du tout, moins de 1% d’erreur, ce qui est excellent en résistance des matériaux. Cette méthode est peut-être viable. 🙂

Le principe du logiciel

Comment procéder pour ce calcul avec une photo pour obtenir une valeur du moment quadratique selon les axes ou selon le centre ?

L’image du profil

Le plus simple est une démonstration de la chose : recherche sur le net d’un profilé quelconque, mais pour être le plus démonstratif possible, le profil ce ne sera pas quelconque. 😉

Donc ce sera une poutre type IPE-140

Je n’ai aucune action chez ce marchand, mais vous pouvez trouver les données relatives a tout de sortes de poutrelles IPN, HEA, UPN, etc.

Les caractéristiques dimensionnelles en mm de notre référence selon les tables :

Moment quadratique Jxx541 cm4
Moment quadratique Jyy44.9 cm4
Surface (section)16.4 cm2
Moment centré Jo
calcul moment quadratique, poutre IPE 140

Calcul manuel

Ce genre de profilé est très simple à calculer, si l’on néglige les rayons :

Calcul moment quadratique, formule

Le logiciel

Le premier pas est de définir le petit élément qu’est un pixel puisque tout va passer par lui. Pour expliquer le principe, nous allons prendre une image très simple, elle est composée de 5×3 pixels (soit 15 pixels). Nos pixels seront également simples puisque soit blanc soit noir. Un seul pixel est noir et représente la matière, plus c’est noir plus la densité de matière est grande.

exemple photo avec peu de pixel 3x5

La logique de placer les axes X,Y de référence au centre de l’image comme sur le dessin de gauche avec Xr, Yr semble évidente, mais il ne faut pas oublier que les dessins sont « fabriqués » par les pixels eux-mêmes. Donc le centre du pixel est difficile à conceptualiser dans un programme ou l’idée est de compter les pixels et la représentation d’un axe devient un peu difficile.

On va donc attribuer une concentration de couleur (de matière) en un point du plan et placer les axes selon les bords des pixels. En fait c’est complètement arbitraire on peut choisir les axes à droite du pixel et la matière peut être définie comme concentrée au point inférieur droit de notre pixel. Il faut comprendre le pixel comme un élément petit qui n’a pas de dimension. Pour plus de facilité, nous avons instauré le coin inférieur gauche comme origine de l’image et donc des calculs.

calcul moment quadratique, principe du programme

Vu avec une image à très peu de pixel, il y a incongruité entre le centre de l’image et le centre de l’image pour le logiciel, mais le pixel est « infiniment petit ». Si vous avez une image de 300×300 et que votre profilé est un carré de 20 mm, l’erreur due à ce type de représentation sera au maximum de : 20/300=0.07 mm soit une erreur de 0.07/20=0.4%. Le premier comparatif des moments quadratiques montre bien que cela n’est pas problématique.

L’image de 552×1060 en png niveau de gris.

Les résultats :

– Le ratio, le rapport des mm / pixel vaut : 140 / 1060 = 0.132
– La surface 1641 mm2 soit 16.41 cm2
– Moment quadratique Jxx = 5’363’353 mm4 = 536 cm4
– Moment quadratique Jyy = 455’108 mm4 = 45 cm4
– Moment quadratique centre Jo = 333’933’709 mm4
forme poutre standard IPE

Le programme

C’est écrit en python 3.7, avec les bibliothèques pygame, pillow, numpy, pathlib, math et webbrowser. Il y a quelques (beaucoup) années, j’ai écrit un logiciel semblable, quoique plus rudimentaire (Inertie).

Les sources des différentes versions sont ici :

Moment V0.0 et Moment V0.1 et encore Moment V0.2

Pour donner une idée de l’interface voici quelques copies d’écran de la V0.0 :

Comme certain l’ont certainement remarqué, l’image chargée n’est pas un profilé du commerce, c’est une vue aérienne du Lac de Garde (magnifique région) que j’ai utilisé pour tester le calcul de la surface. Une carte routière avec une échelle, puis on badigeonne à la va-vite la surface du lac et enfin on efface tout ce qui n’est pas noir.

Sur Wikipédia la surface du lac est donnée pour : 368 km2, avec le logiciel et une image de 455×743 pixels pour 52 km (sens de la hauteur), on trouve 344 km2 soit une erreur de 7% ce qui plus qu’acceptable avec les moyens utilisés.

Pour information le calcul de la surface avec mon vieux Pc (Atom 1.44GHz) c’est environ 12s, donc attention au temps de calcul avec de gros fichier.

Codage des images

Pour pouvoir effectuer le calcul d’une surface ou bien d’un moment quadratique, l’image doit présenter quelques caractéristiques

  • format PNG
  • codées en 8 ou 16 bits
  • noir et blanc, nuance de gris ou encore en couleur

Mais pas que, et pour bien spécifier les caractéristiques de l’image au format PNG pour que le logiciel s’y retrouve voici divers codages et leurs matrices résultantes

Calcul moment quadratique, matrice

Pour l’instant le système ne traite que les modes Gray, RGB et RGBA en 8 ou 16 bits. Pour les images couleurs (mode RGB), on détermine un « poids » (qui représente la densité de matière) par l’addition des trois valeurs de la définition de la couleur. Dans le cas du mode Gray, c’est la valeur de l’intensité du noir qui fait office de poids.

Juste pour être clair RGB A : Red, Green, Blue et Alpha. Donc chaque pixel de couleur est défini par trois valeurs de 0 à 255 (28=256 pour 8bits) ou de 0 à 65535 (216 =65536 pour 16bits), une par couleur. Le A, c’est l’opacité du pixel soit 0 pour le transparent et 255 pour l’opacité complète. Dans le code ce paramètre est considéré toujours maximum, donc opaque.

Conclusion

Pour terminer une liste d’améliorations pour que ce logiciel puisse prétendre à la version 1, c’est une liste sans ordre particulier :

  • Affichage des pixels de l’image sélectionnée. v0.1
  • Prise en charge des images de format JPG.
  • Affichage des résultats plus direct, lien avec l’image et possibilité de sortie sur papier. v0.2
  • Liaison du ratio et de l’image.
  • Entrée du ratio plus instinctive (curseur visible, utilisation de la souris, etc). v0.2
  • Traduction avec choix de la langue. v0.1
  • Possibilité de changer de répertoire pour le fichier à charger.
  • Numérotation des axes et des centres.
  • Mise en exergues du résultat et de l’élément (axe ou centre).
  • Souvenir des préférences. v0.1
  • Sablier d’attente lors des calculs. v0.1
  • Intégrer les images 16 bits. v0.2
  • Choisir une icône du programme plus adaptée. v0.1
  • Supprimer la bibliothèque Tkinter, uniquement utile pour les messages. v0.1
  • Ecrire une aide à l’utilisation et la programmation v0.2
  • Prise en charge des caractères asiatiques v0.2

Au final, je ne pense pas aller plus loin dans ce développement. Le but recherché (trouver simplement la valeur d’un moment quadratique) est atteint et même si c’est encore fortement perfectible, c’est suffisant.