Fonctions réciproques ou inverse

Pourquoi encore parler de ce type de fonctions réciproques alors qu’une multitude d’articles, de cours, de vidéos foisonnent sur internet ?

Pour montrer que les notations mathématiques sont parfois pas des plus explicites !

Rappel

Si vous n’êtes plus trop au clair avec la notation de puissance, vous pouvez relire l’article : « écriture mathématique (1)« 

L’exposant de puissance permet de simplifier l’écriture mathématique, par exemple l’opération de multiplication : 3 · 3 · 3 = 33 = 27, pour la partie 33 on parle de 3 puissance 3.

Dans le cas où l’exposant, qui peut être un nombre réel quelconque, est -1, on obtient la valeur inverse, soit par exemple :

Autre exemple connu, le remplacement de l’écriture de la racine par les puissances (exposants), permettant une unification de l’écriture : √4 = 41/2 = 2

fonctions réciproques, rappel puissance

Fonctions réciproques

Nous nous intéressons uniquement au principe des fonctions réciproques, on laisse tomber volontairement les domaines de validité. Je vous laisse regarder la définition mathématique d’une telle fonction sur Wikipédia par exemple.

On peut résumer l’idée a l’inversion des coordonnées et des abscisses (x devient y et y devient x) pour une fonction dans le plan. Vous avez certainement déjà utilisé les fonctions réciproques lors de calculs trigonométriques ou probabilistes. En effet, par exemple, le sinus et l’arc sinus sont la fonction et sa réciproque ou encore une exponentielle et sa réciproque logarithmique.

On appelle parfois les fonctions réciproques, l’application (fonction) inverse de f(x) !

La notation

Le choix de la notation est un peu malheureux à mon sens, mais il est vrai, je n’ai pas de proposition convaincante à proposer.

soit f(x) la fonction de base alors f-1(x) est sa fonction réciproque

Évidemment on fait directement le lien avec la puissance (l’exposant) d’une valeur, mais ce n’est pas cela

f(x)= x + 2 alors sa fonction f réciproque f-1(x) = x – 2

et non pas (f(x))-1=(x+2)-1= 1 / (x+2)

  • l’exposant -1 dans la dénomination de la fonction définit fonction réciproque
  • l’exposant -1 juste après la dénomination de la fonction définit l’inverse (chapitre ci-après)
  • f-1(x) = x + 2 est la fonction réciproque

Exemple dans le plan :

  • f(x)= x2
  • y = x2 en inversant x et y on obtient : x = y2 soit y = √x
  • fonction réciproque de f(x) est R(x)= √x

La représentation graphique explique l’assertion du début, la ligne bleue est bien la symétrie de la ligne rouge par la ligne verte (bissectrice) ! :

fonctions réciproques, graphique

Une vidéo (5’33) applicative pour trouver des fonctions réciproques

Fonction inverse

Dans ce cas, on parle, en fait, de l’inverse de la variable en réalité.
La fonction inverse est f(x)=(x)-1 soit f(x)=1/x, la fonction inverse est une hyperbole, la représentation graphique d’une telle fonction correspond à :

fonction inverse, graphique

Ce qui est important à retenir c’est que cette fonction inverse est définie sur l’ensemble des nombres réels excepté le 0, souvent cette ensemble est noté par un grand R double avec une étoile : R*.

Vidéo (2’19) explicative de la fonction inverse

Conclusion

Comme déjà plusieurs fois mentionnés dans divers articles, les mathématiques ont un formalisme très pointu mais beaucoup de choses sont non écrites et c’est a chacun de savoir de quoi il retourne. C’est un peu contraire à la croyance populaire qui lie les mathématiques avec la rigueur.

Encore une fois apprenez ce langage et surtout comprenez bien ce que chaque signe mathématique veut réellement dire, en français clair pas en langage matheux !