Appréhender l’infini

L’infini en physique et en mathématique sont parfois dissemblables. Par exemple notre univers est fini dans nos possibilités d’observation, mais en réalité il est peut-être infini, nous sommes incapables de le savoir et de l’imaginer. Cette différence entre la physique et les mathématiques, peut être aperçue dans les nombres utilisés. En science physique les nombres entre 10-100 et 10+100 couvrent toutes les situations, alors que pour les mathématiques ce ne sont en rien des limites.

Cette notion, l’infini en mathématique, nous est totalement contre-intuitive et je ne suis pas sûr que quelqu’un en ait une représentation claire. Tous ce que nos sens nous montrent, c’est un monde fini avec des temps finis, des dimensions finies. C’est pourquoi, l’infini mathématique est, pour nous, une idée étrangère.

Paradoxe « humain »

Passons de la physique aux mathématiques avec le cas de la longueur de la diagonale d’un rectangle. C’est un peu le même principe que la mesure du périmètre du lac, mais dans le monde mathématique.

Comme vous le connaissez tous, le calcul d’une diagonale d’un rectangle grâce à notre ami Pythagore. L’hypoténuse est la racine carrée de l’addition du carré des côtés du triangle rectangle (triangle avec un angle de 90°).

triangle rectangle, théorème de Pythagore

Maintenant imaginons que nous ne connaissions pas cette méthode et que l’on prenne une approche par approximation successive. Deux cotés sont coupés en deux et une moitié est décalée pour obtenir une sorte d’escalier, voilà à quoi cela ressemble notre méthode, une image, vaut plus que 1000 discours.

vue diagonale triangle, principe

L’addition des deux longueurs des cotés du rectangle vaut : 1+2=3. Je pense que vous n’avez pas de problème avec ce résultat.

Maintenant répétons ce principe, on coupe en deux et on translate.

infini, réduire longueur des segments côté triangle

La longueur des cotés bleus et rouge = segments bleus horizontaux + segments rouges verticaux

Calcul approximatif vers l'infini

Mais la diagonale selon Pythagore vaut 2.236 ce qui est nettement différent de 3 !

C’est plutôt déstabilisant ? Où  est le problème ?

Ce sont nos sens (celui de la vue en particulier) qui nous induisent en erreur. En effet, on pense que la diagonale et les petits de segments sont la même ligne, mais cela n’est du qu’à notre faculté de distinction des traits. Si l’on zoome sur une portion de la diagonale, on trouvera toujours une diagonale et des escaliers aussi petit que soit les segments. Même si votre escalier est extrêmement minuscule, plus petit qu’un atome, vous aurez toujours une ligne et un escalier. Vous sentez dans ce raisonnement du plus petit segment possible, la notion d’infiniment petit.

Infini, vue virtuelle vers l'infinitivement petit

Bien sûr vous soupçonnez qu’une limite doit exister dans le monde réel. Par exemple cette limite peut-être plus petite qu’un millimètre, qu’une molécule, qu’un atome, qu’une particule ou encore de l’ordre de la limite de Plank, mais où est la limite dans le raisonnement mathématique ? Il n’y a pas de limite, et c’est justement là qu’apparaît le paradoxe.

La diagonale du rectangle approximé par une succession de segment, même si, instinctivement on imagine que la succession des additions de segments doit se rapprocher de la diagonale, en fait, il n’en est rien.

Suite d’addition infinie

Tentons d’illustrer cette difficulté de visualisation, de conceptualiser l’infini, par un exemple relativement simple et visuel. L’addition des nombres entiers et l’addition du carré des nombres entiers.

A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + etc

B = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + etc = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + etc

Le « etc » est souvent marqué en mathématique par « … » et signifie jusqu’à la fin de la série. Mais notre série, elle n’a pas de fin, elle est infinie. Posons-nous la question suivante :

Le résultat A est-il plus petit ou plus grand que le résultat B ?

Spontanément on peut se dire le carré d’un nombre c’est plus grand que ce nombre donc B est plus grand que A, mais à contrario, l’addition A contient plus de termes de l’addition B (exemple les valeurs 2 et 3, etc) alors A est plus grand que B.

Nous voilà bien avancés 😮 . En fait et c’est cela qui est déroutant une addition à l’infini donnera toujours l’infini, et donc A et B sont de même valeur.

Paradoxe « d’addition »

Reprenons l’addition des nombres entiers positifs en la limitant à un maximum appelé n, nous aurons une suite d’addition finie de nombre entier. Que vaut cette addition ?

calcul d'une suite finie de nombres

Pour se persuader que cela est correct, prenons un exemple simple et fixons n=5, donc par la formule nous trouvons A = 15 et 1+2+3+4+5 = 15.

Maintenant si on ne limite pas notre suite d’addition, que cela change-t-il ? C’est une suite infinie et donc on pense que le résultat sera un chiffre extrêmement grand, voire infini.

Voici donc notre suite d’addition infinie A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + …

Voyons, si l’on peut par une méthode analogue à précédemment, trouver une formule pour le résultat de cette suite. Ramanujan nous propose de commencer par soustraire la suite 4A à notre suite d’origine A :

infini, calcul Ramanujan

Le résultat est une suite -3A où les nombres impairs sont additionnés et les nombres pairs soustrait. L’étape suivante de notre manipulation est d’additionner 4 fois cette suite alternée, soit :

infini, calcul Ramanujan

Voilà un résultat plutôt déroutant et qui peut sembler absurde ! C’est vrai, une addition à l’infini de quelque chose qui donne un résultat négatif, c’est incompréhensible. Je vous laisse méditer sur ce paradoxe, mais je vous signale qu’une application physique (effet Casimir) permet mettre en avant ce résultat, ce qui peut signifier que notre calcul n’est peut-être pas si absurde. Ce que l’on peut déduire aussi c’est

qu’une série d’addition infinie n’est pas aussi simple que cela.

Vous trouverez des éclairages différents de ce paradoxe sur le site de « Science étonnante* ou dans la vidéo (13’38) ci-dessous

La trompette de Gabriel

Pour illustrer un autre cas, regardons le volume et la surface d’une trompette dite de Gabriel. Pour faire court et arriver directement au paradoxe voici une représentation de cette trompette :

Trompette de Gabriel

La construction de cette trompette est réalisée par la rotation de la courbe 1/x autour de l’axe X.

Je passerais sur la démonstration mathématique (voir ci-dessous) du calcul de la surface et du volume d’un tel objet. Pour l’anecdote, le filet d’eau qui s’écoule d’un robinet, prend justement cette forme, donc ce n’est pas complètement « hors-sol ». Les résultats de ces calculs nous donneront … un paradoxe.

  • la surface interne (ou externe) de cette trompette est infinie, surface infinie
  • le volume compris « dans » cette surface est fini, volume fini

Comment comprendre ce paradoxe ?

Il y a déjà le mode de calcul qui pose problème, sans entrer dans les détails mathématiques, la technique de l’intégration sur l’infini n’est exempte de distorsion. Juste pour situer la différence surface/volume, la surface (carré de x) converge plus lentement que le volume (cube de x) lorsque la valeur x tend vers l’infini. Pour le calcul intégral, l’intégrale peut diverger ou converger à l’infini suivant la vitesse de convergence de la fonction.

De manière intuitive (attention, c’est une image), la surface (intérieure ou extérieure) aura toujours un petit quelque chose tandis que le volume que cette surface devient insignifiante lorsque x tend vers l’infini. C’est plus un raisonnement physique que mathématique.

Justification rapide du résultat

Pour ceux qui connaissent un peu les mathématiques, entre autre le calcul infinitésimal.

infini, approche calcul trompette de Gabriel

Explication détaillée

Suivez cette vidéo (plus de 38′)

Conclusion

J’espère qu’avec ces exemples vous ayez une vision de l’infini un peu différente. En physique il peut correspondre à notre idée humaine de l’infini, mais par contre en mathématique, vous êtes prié de laisser votre instinct de côté et admettre que l’infini est curieux et paradoxal.