Opérateurs mathématiques

Vous en connaissez certainement, pensez à + ou –  par exemple, mais de ces opérateurs mathématiques il y  a beaucoup d’autres et aujourd’hui j’aimerais vous parler d’un type un peu moins connu, les opérateurs mathématiques différentiels.

Ooohhh ! ne fuyez pas ! Nous verrons ce que sont ces opérateurs et SURTOUT à quoi ils peuvent bien servir. Je vous rassure tout-de-suite vous n’avez besoin d’aucune connaissance particulière  pour suivre cette petite présentation.

Pour fixer les esprits, voici le but de notre survol : ce sont les opérateurs mathématiques de l’analyse vectorielle du premier ordre, soit :

  • le gradient
  • le rotationnel
  • la divergence

Pour commencer cette courte présentation des opérateurs mathématiques, je vais rappeler deux notions importantes en mathématiques.

Les grandeurs physiques

Ce dimanche tout heureux, vous partez en balade, il fait beau, tout va bien, mais soudain la catastrophe ! Votre mobile n’a plus de batterie, vous devez donc demander votre chemin à quelqu’un. Pas de soucis en fin compte, les gens sont toujours prêt à renseigner. Pour ce faire vous posez LA question, « …….. c’est loin  ? » Si après la réponse, vous savez à quoi vous en tenir vous avez énormément de chance, jouez tout de suite au loto. En effet dans le langage courant, vous aurez ceux qui vont vous estimer une distance, ceux qui vous estimerons un temps et la grande masse (dont moi) ce sera : « non et/ou oui » (cela dépend de l’optimisme de la personne), ça fait un petit bout chemin », « à deux pas », « ouaaahhh, c’est loin », « c’est au diable vauvert », etc. Notez qu’en plus, tout cela dépend du pays. Si vous voulez avoir une idée de nos habitudes de parler et des approximations du langage courant : wikipédia ou un document « plus normatif ».

Bref tout ceci pour dire que pour avoir une réponse précise, il vous faut des éléments clairs, des grandeurs MESURABLES.

Donc pour une bonne réponse à la question « …….., c’est loin ? », une réponse par une distance mesurable et mesurée (pour l’exactitude de la réponse) devrait faire l’affaire. Pour parfaire la réponse, il est souhaitable d’utiliser une unité du système international des unités. Donc en résumé, la meilleure réponse est par exemple « c’est à 2 kilomètres ! » et c’est parfait !!

Ben ……. non, car vous ne savez pas si vous devez aller à gauche, à droite, en avant ou en arrière ! Vous avez bien la distance, mais pas la direction !

Autre cas

Pendant cette escapade vous sentez bien que votre sac est lourd mais est-il plus lourd que celui de votre ami ? Qui est le « baudet » ? Il faut en avoir le coeur net, « ton sac, il est lourd ? » et là c’est la douche  : « 10 kilos ! » alors que vous savez que le votre en fait seulement 8, pas d’erreur c’est l’âge !!! Remarquez tout de même, que dans ce cas un chiffre (une valeur) à complètement répondu votre interrogation, grande différence avec le problème de chemin.

On résume

Dans un cas à la question « ……. c’est loin ? », vous avez besoin de plusieurs grandeurs, informations pour pouvoir continuer alors que dans le cas de « Est-il lourd ? » une seule grandeur vous a suffit. 

En physique on classe les grandeurs (entités mesurables) en deux grandes catégories, celles qui nécessitent plusieurs valeurs pour la définir et celles qui sont définies avec une seule valeur. Les premières sont appelées « grandeurs vectorielles » et les secondes « grandeurs scalaires ».

Quelques exemples de grandeurs physiques

  • scalaires : la température, la masse, l’humidité, ….
  • vectorielles : la distance, la vitesse, la force, ….

Pour ceux qui veulent plus d’explications, je vous propose mes articles : écriture mathématique 2force d’inertie

Les champs

Non, je ne vais pas vous entretenir du jardinage de jonquilles, j’en suis bien incapable ! Je parle de champ en physique. Un champ de jonquille n’est pas le même champ qu’un champ de pression. Nous allons tenter de faire un parallèle entre les deux.

opérateurs mathématiques, champ de jonquilles

Si vous voulez décrire mathématiquement ce qui va se passer lorsqu’un brin de vent va passer, il est impossible de traiter toutes les jonquilles unitairement et de calculer comment chaque jonquille va se courber. Pensez simplement qu’elle peut s’appuyer sur d’autre plante, elle a sa propre taille, qu’elle est la quantité de vent reçue, la direction de ce vent, etc. Uniquement sur les grandeurs de départ du calcul, la répartition du vent sur le champ, il est déjà impossible de les connaître, donc de définir comment va se courber chaque jonquille ……….

Les physiciens ou/et les mathématiciens ont « inventés » un outil très pratique pour décrire les divers phénomènes : le champ ! Remarquez quand même que les paysans ne les ont pas attendus pour travaillez au niveau du champ. On travaille au niveau du champ plus au niveau de chaques éléments.

Vent sur un champ, vidéo réelle :

Vent sur un champ, vidéo artificielle :

remarqueS :

  • Lorsque l’on parle de champ en physique, c’est que l’on s’intéresse à une grandeur globalement. Il faut comprendre que nous nous éloignons du détail, et que l’on traite souvent des différences, des variations de la grandeur.
  • Énormément de grandeurs physiques sont des grandeurs vectorielles, des grandeurs qui besoin de plusieurs valeurs (grandeurs) pour être définie. Rappelez vous simplement la distance, encore faut-il savoir dans quelle direction.

Présentation habituel de quelques champs :

Si vous avez l’habitude de regarder la météo à la télévision ou dans le journal, vous avez toujours de jolies cartes de champs : températures, pression, vents (vitesse) etc ..

 opérateurs mathématiques, champ de la vitesse du ventopérateurs mathématiques, champ température opérateurs mathématiques, champ pression

Si voulez plus de renseignements sur les champs, je vous conseille la vidéo ci-dessous (>10′) qui est très bien faite et didactique.

Le gradient

Pour commencer ce parcours parmi les opérateurs mathématiques différentiels et plus particulièrement par l’opérateur gradient, je vous propose d’analyser deux cas vous pouvez (avez) expérimenté. Imaginez, vous vous réchauffez devant un feu, vos mains tendues vers le feu se réchauffent agréablement bien que vous ayez un peu froid dans le dos. Vous sentez nettement entre vos doigts et votre dos une différence de température, en physique on parle d’un gradient de température, ce qui ne vous empêche pas d’avoir froid dans le dos !

Gradient = Différence = Variation

Autre cas de figure, vous affrontez un petit blizzard (soyons modeste), Au détour d’une maison en prenez plein la figure ! Avant le coin les flocons tombaient relativement tranquillement leur vitesse de déplacement étaient presque verticale, mais dans la rue balayée par le vent, les flocons se déplacent presque horizontalement. Le changement de direction de leurs déplacements, vous l’avez bien ressentis. C’est la différence de vitesse horizontale des flocons qui est responsable de votre inconfort (c’est un euphémisme !). En physique on parle du gradient de vitesse des flocons. Encore une fois on retrouve cette dualité.

Différence = Gradient = Variation

Les représentations du gradientopérateurs mathématiques, courbes de niveau

Prenons maintenant un exemple de présentation de gradient. Nous avons mesuré les altitudes d’une région. Dans notre cas, c’est donc la variation (gradient) d’une grandeur scalaire (altitude) que nous voulons visualiser.  Une carte géographique avec les courbes de niveaux est une représentation possible du gradient d’altitude.

Voici comment cela se présente : opérateurs mathématiques, carte 1:25000Dans ce cas la variation (le gradient) est suggérer par les lignes brunes-jaunes. Entre chaque ligne, l’altitude varie de 10m, le gradient d’altitude est de 10. Comme pour l’histoire de la direction lors de votre quête du bon chemin, pour définir correctement le gradient il vous faut encore connaître la direction. Si vous vous déplacez selon le parcours 1 ou le parcours 2 , vous comprenez tout de suite que la variation d’altitude (le gradient d’altitude) ne sera pas pareille. Pour illustrer, plus mathématiquement la chose si vous déplacez de 100 mètres selon la direction 1 vous aurez une différence d’altitude de 120 m soit une pente de 120/100=120% ou 50° soit une « bonne dérupée ». Je vous mets la traduction pour les non-vaudois (vaudois = peuplade Suisse) : bonne descente. Dans le cas d’un déplacement selon le parcours 2  on reste à plat, pratiquement pas de variation d’altitude (gradient nul).

Autre visualisation

Maintenant voici un exemple du gradient de température d’un liquide. Température élevée = rouge, basse température = bleu. Dans cette représentation c’est la variation de couleur (variation de température) qui permet de « voir » le gradient de température.

Vous trouverez beaucoup d’autres exemples sur internet de la visualisation du gradient d’une grandeur scalaire ou vectorielle.

Visualisation symbolique

Essayons gentiment maintenant de voir le symbolisme lié à cet opérateur. Le gradient est est une variation, donc en fin de compte une grandeur vectorielle (taille de la variation et direction de la variation par exemple). Si je reprend l’idée de se réchauffer près d’un feu, on comprend que la variation de température n’est pas la même si je me déplace avant-arrière ou latéralement.

opérateurs mathématiques, feu de bois

Cette variation de température est définie par une distance et une direction (deux grandeurs), nous avons donc bien une grandeur vectorielle. Les lignes d’égales températures sont la représentation du champ de température, comme les lignes d’altitude sur la carte.

opérateurs mathématiques, gradient température

Visualiser le gradient par un vecteur (une flèche), dans le cas ci-dessus, la représentation pourrait être celle-ci  contre. Vous remarquerez que la longueur de la flèche augmente plus on s’approche du feu, ce qui est assez logique, le gradient de température augmente (l’intensité de la variation) plus on s’approche du feu. Deuxième remarque, toute les flèches symbolisant le gradient (champ de gradient) sont dirigée vers le centre du feu, car c’est le maximum de la variation de température en un point, j’y reviens un peu plus loin.

On parle de champ de température autour du feu, la température est une grandeur scalaire, mais sa variation son gradient est vectoriel.  En mathématique pour représenter une grandeur vectorielle on met une flèche au dessus du symbole. Le choix du symbole du gradient est historique et c’est « nabla »  ∇. Si l’on veut représenter symboliquement le gradient de température autour du feu, nous écrirons quelque comme  :

opérateurs mathématiques, gradient

Pour faire un petit plus de formalisme si l’on veut décrire le gradient de température autour du feu (vu par dessus, voir croquis ci-dessus) nous écrirons que la température va varier suivant la position ou l’on se trouve par rapport au feu :

Tout près c’est très chaud, on estime à 1000°Celsius et plus on éloigne plus on revient à la température ambiante que l’on estime à 5°. Je prends une fonction arbitraire (c’est vraiment au pif, donc certainement faux mais c’est pas important pour la démonstration) qui correspond à ces caractéristiques :

opérateurs mathématiques, fonction température

Comme on travaille vu par dessus, la distance au feu « R » sera décrite par les distances X et Y. La fonction de la variation de la température selon la distance pratiquement la même.

opérateurs mathématiques, gradient température

Vous avez deux flèches bleues qui symbolisent le gradient autour du feu en deux endroits, A et B. Dans le cas du point A, on cherché le maximum d’augmentation de la température et on trouvé que cela est dans la direction du feu (je vous laisse le soins d’expérimenter la chose afin de contrôler mes dires). Dans le cas du point B, on a imposé la direction et on à mesuré la variation de température dans cette direction (l’intensité du gradient) afin de fixer la longueur de la flèche. Ce que je souhaite vous faire remarquer, c’est que le gradient opérateurs mathématiques, gradientau point A peut être décomposé selon les axes X et Y. Pour l’addition/soustraction vectorielle, je vous laisse regarder sur internet (site1, site2, video). On peut donc formaliser cette addition par l’écriture suivante

opérateurs mathématiques, gradient

Si l’on s’intéresse maintenant au à ce qu’est le vecteur Gx, on trouve que c’est une intensité et une direction (on en sort pas  😥   !!!! ). L’intensité est généralement symbolisée en mathématique par |Gx|  qui  traduit (exprime, défini) la longueur de la flèche Gx. Cette valeur est positive. Donc pour « traduire » le terme du gradient selon l’axe X, nous allons introduire une direction, on va pas se fatiguer, ce sera celle de l’axe X.

opérateurs mathématiques, vecteur unitaire

En mathématique habituellement cette direction parallèle à l’axe est définie par un vecteur (tiens donc 😀 ) dont la longueur est 1 (vecteur unitaire). Ce sont les lettres i, j et k pour les axes x, y et z qui ont été choisie (je ne sais pas pourquoi !!) . Voici ci-contre la représentation graphique de ceci dans le plan x et y.

La formulation symbolique des vecteurs Gx et Gy sera :

opérateurs mathématiques, gradient             opérateurs mathématiques, gradient

Pour résumé la situation

Nous avons d’une part la fonction de la variation de la température et d’autre part la définition du gradient de la température dans le plan. Il reste à faire le travail, soit de grouper ces données.

Écrivons le gradient par rapport au axe X et Y :

opérateurs mathématiques, gradient

Le gradient s’écrit habituellement en mathématique avec l’opérateur mathématique nabla :        opérateurs mathématiques, gradient

Ou si l’on spécifie que l’on travaille dans le plan X,Y :

opérateurs mathématiques, gradient

Ce qui revient à écrire en mélangeant les deux symboliques :

opérateurs mathématiques, gradient

Il nous faut maintenant revenir à cette quantité de variation de température suivant où l’on se situe dans le plan. Nous avons déjà introduit une fonction (encore une fois, attention peut-être non conforme à la réalité) pour cette variation de température. Le terme |Gx| indique l’intensité de la variation selon l’axe X. Autrement dit c’est la variation du gradient selon l’axe X, ce que l’on écrit en mathématique :

opérateurs mathématiques, gradient            opérateurs mathématiques, gradient

Je vous laisse regarder ces sites (sites1, site2, vidéo) sur les dérivées partielles si vous n’êtes pas trop à l’aise avec cette notation qui signifie seulement variation de la température T selon l’axe X. On écrit ce signe « d arrondi » « ∂ » parce que l’on suppose que la température varie aussi selon y. Je vous laisse vérifier cela par l’expérience, prenez toutes les précautions pour ne pas vous brûler : demandez à un « ami » de le faire pour vous !!

Donc maintenant en combinant les divers éléments vus, nous avons notre définition du gradient de la température dans le plan

opérateurs mathématiques, gradient

A présent on veut une définition plus générale du gradient quelque soit la fonction, nous resterons dans le plan pour garder une certaine cohérence, bien que certains pensent déjà que tout cela en manque  🙄 

Nous ne connaissons pas la fonction T, donc pour que l’expression ne préjuge pas de la direction du gradient, nous utiliserons le terme « f » au lieu de « T » pour la fonction et comme l’on ignore le sens du gradient nous écrirons avec les termes avec des signes + (puisque l’on ne connaît pas la fonction f). Nous avons la définition du gradient dans le plan :

opérateurs mathématiques, gradient

Pour terminer a peu près proprement la présentation du gradient, je vous propose (c’est pour les seuls encore éveillés !), le calcul complet du gradient de température pour le cas du feu vu par dessus.

opérateurs mathématiques, gradient

Dérivées partielles, rappel (c’est pas important, car ça c’est vraiment de la « touillerie » mathématique) : dérivée de l’argument de l’exponentielle selon premier paramètre multiplié par la dérivée de la fonction exponentielle pour le premier vecteur unitaire et ainsi de suite.

Donc au final :

opérateurs mathématiques, gradient

Voici la forme de l’intensité du gradient, hauteur z (longueur de la flèche) en fonction de la place dans le plan (x,y). Je suis désolé pour la qualité déplorable de la vue 3D, mais je suis vraiment un piètre utilisateur de GeoGebra.

STOP, STOP,  on en a assez !!!!! c’est fout ce que ce genre de prose est barbant.

Ok, Ok ! pas de problème, la suite dans ……  « opérateurs mathématiques, le retour »  😆