Le rotationnel

Avant de parler du rotationnel, un petit rappel

Rappel gradient, divergence

Les grandeurs

  • grandeur scalaire : la température, l’altitude, la masse, etc
  • grandeur vectorielle : la vitesse, la force, le gradient, etc

Les champs

Le champ d’une grandeur physique permet de traiter l’ensemble des données d’une grandeur physique répartie sur une zone, un temps, etc. Une relation mathématique entre cette grandeur et la répartition est souhaitable pour pouvoir travailler avec ce champ.

Le gradient

Le premier opérateur mathématique introduit fut le gradient. C’est la formalisation d’une variation d’une grandeur physique (scalaire ou vectorielle), par exemple la variation de la température dans une pièce.

Remarquez que si la grandeur étudiée est un scalaire, cela ne change pas la nature du gradient, il sera vectoriel. L’opérateur « nabla ∇ » est la représentation du gradient.

La divergence

L’opérateur mathématique divergence exprime « l’écartement » d’un champ vectoriel. On peut également l’extrapoler et considérer la grandeur scalaire divergence comme la densité du champ vectoriel.

On a parlé de cas particulier de divergence comme le puit ou la source dans le plan

Divergence positive et divergence négative


Le rotationnel

Je pense maintenant que vous êtes un peu habitué avec ces notions mathématiques et leur représentation physique. Parmi les opérateurs mathématiques le rotationnel est peut-être le plus difficile à appréhender. Comme son nom l’indique le rotationnel donne une information sur le champ vectoriel étudié. Tourne-t-il ou ne tourne-t-il pas ?

Le rotationnel est un champ vectoriel définit à partir d’un champ vectoriel.

Si l’on regarde un champ vectoriel, comme le mouvement d’élément autour d’un point P. Si les vecteurs vitesses (champ vectoriel de vitesse) des éléments autour de P sont comme le schéma ci-contre, on comprend instinctivement que les éléments tournent autour de P, donc le rotationnel du champ de vitesse des éléments est non nul.

le rotationnel, schéma plan

Ce qui moins facile à comprendre c’est que la représentation de cette rotation se fera par une flèche qui sort de l’écran. Cette représentation du vecteur rotationnel dont la direction représente l’axe de rotation et sa longueur l’intensité (dans notre cas la vitesse) de la rotation.

Voici une « image » de la chose :

opérateurs mathématiques, rotationnel

L’axe de rotation donne la direction du vecteur rotationnel R et la longueur de ce vecteur indique la vitesse V du mouvement autour du point considéré. Pour illustrer ce rotationnel, je vous conseille de jeter un coup d’oeil à cette petite vidéo de cette page web.

Un champ vectoriel à rotationnel nul est souvent dit « irrotationnel ».

Dans le plan

Pour un champ vectoriel plan, par exemple le mouvement d’une onde à la surface de l’eau, le ruissellement de l’eau sur un toit, etc, nous aurons donc le champ vectoriel définit selon les axes X et Y. La direction du vecteur rotationnel en un point sera lui sera perpendiculaire au plan. Le champ des vecteurs rotationnels, le champ rotationnel, « sortira/entrera » dans le plan considéré.

Soit un champ vectoriel « A » tournant  dans le sens des aiguilles d’une montre :

Vous avez la définition de ce champ sous forme de schéma et d’équation mathématique. Je vous laisse retrouver l’un par rapport à l’autre 😉 !

Autre façon de se représenter ce champ vectoriel, en faisant un petit exercice de visualisation nous pouvons « voir le champ tourner ». Imaginez que vous pouvez ramener au centre (origine), chaque vecteur. Vous verrez en fin compte un vecteur qui « tourne », ce qui illustre bien la notion de vecteur tournant, de champ de vecteurs tournants, de champ vectoriel tournant, de champ à rotationnel non nul.

opérateurs mathématiques, rotationnel

Regardons maintenant plus en détail ce qui se passe entre le vecteur orange et le vecteur rose 

opérateurs mathématiques, rotationnel

Le vecteur A tourne autour de l’origine, donc il passe par l’état A1 puis A2. « delta X » signifie la variation du vecteur A selon l’axe des X. La variation d’orientation peut être définie par les « delta X » et « delta Y » entre A1 et A2. Le rotationnel sera alors comme la somme de ces différences, soit

opérateurs mathématiques, rotationnel

Maintenant si l’on fait varier « très petitement » X (je pense maintenant que vous me voyez arriver avec des différentiels 🙂 ), sa représentation est « delta Y ». La variation « delta X », elle, ne dépend, pour des variations très petites de X et Y, que de la variation de Y.

opérateurs mathématiques, rotationnel

Selon la convention de notre schéma, « delta X » est négatif tandis que « delta Y » est positif. Pour terminer cette définition du rotationnel 2D (champ vectoriel dans le plan X,Y), nous aurons :

opérateurs mathématiques, rotationnel

Pour rappel i, j et k sont les vecteurs dans la direction des axes cartésiens, respectivement les axes X, Y et Z. Je vous laisse regarder la définition du rotationnel dans un espace à trois dimensions, sur les pages Wikipédia par exemple. Mon but étant d’uniquement vous faire « visualiser » ce qu’est cet opérateur mathématique appelé rotationnel.

Remarque : pour un champ vectoriel 2D tournant dans le sens des aiguilles d’une montre, conventionnellement le vecteur rotationnel est dirigé comme s’enfonçant dans le plan (opposé au vecteur k représentant l’axe Z).


Conclusion

Gradient, Divergence et Rotationnel sont maintenant des mots ou des symboles mathématiques qui ne doivent plus vous effrayer. Ces opérateurs mathématiques ne vous sont pas aussi familiers que « plus » ou « moins » mais presque ………